Pemrograman Analisis Numerik dengan MATLAB

Pemrograman Analisis Numerik dengan MATLAB

 

Ada beberapa function MATLAB yang digunakan dalam pembahasan ini

Function	Keterangan
Abs	Harga mutlak
Dblquad	Evaluasi integral lipat dua
Erf	Fungsi kesalahan
feval	Mengeksekusi fungsi yang namanya disebutkan oleh string
fzero	Menemukan pembuat nol fungsi satu variabel
gamma	Fungsi gamma
inline	Konstruksi objek ONLINE
Interp1	Interpolasi satu dimensi
Interp2	Interpolasi dua dimensi
linspace	Membagi vektor secara linear
meshgrid	Array X dan Y untuk plot grafik tiga dimensi
norm	Normal suatu matrik atau vektor
ode23	Penyelesaian persamaan differensial non stiff, metode low order
ode45	Penyelesaian persamaan differensial non stiff, metode medium order
ode113	Penyelesaian persamaan differensial non stiff, metode variabel order
Ode15s	Penyelesaian persamaan differensial non stiff, metode variabel order
ode23s	Penyelesaian persamaan differensial non stiff, metode low order
poly	Konversi akar-akar ke polinomial
polyval	Mengevaluasi polinomial
quad	Mengevaluasi integral secara numerik, metode low order
quad8	Mengevaluasi integral secara numerik, metode high order
rcond	Estimasi kondisi timbal balik
roots	Mendapatkan akar-akar polinomial
spline	Interpolasi data dengan kubik spline
surf	Menggambar permukaan warna 3 dimensi
unmkpp	Penyediaan secara detailtentang polinomial sepotong-sepotong

Polinomial

1. Akar

 Polinomial    : X⁴  – 12 X³ + 0 X² +  25 X + 116 = 0

>> p = [1 -12 0 25 116]

      p =

              1   – 12    0    25   116

     Akar polinomial dapat ditentukan dengan fungsi roots :

>> r = roots(p)

      r =

             11.7473

               2.7028

             -1.2251 + 1.4672i

             – 1.2251 – 1.4672i

>> pp = poly(r)

     pp =

              1.0e+002  *

              Columns 1 through 4

               0.0100     -0.1200      0.0000      0.2500

              Columns 5

               1.1600 + 0.0000i

>> pp(abs<1e-12)=0                       {mengubah nilai-nilai kecil menjadi nol}

     pp =

              1.0e+002

               Columns 1 through 4

               0.0100     -0.1200      0         0.2500

              Columns 5

               1.1600 + 0.0000i

1. Perkalian

 

    Perkalian polinomial dikerjakan dengan fungsi conv

    a(x) = X³  + 2 X² +  3 X + 4  dengan     b(x) =  X³  + 4 X² +  9 X + 16

>> a = [1 2 3 4] ; b = [1 4 9 16]

     c= conv(a,b)

     c =

                1    6    20    50    75    84    64

      Hasilnya adalah c(x) = X⁶ +6 X⁵+ 20 X⁴  + 50 X³ + 75 X² +  84 X + 64

1. Penjumlahan

>> d = a + b

      d =

              2   6   12   20

>> e = c + [0 0 0 d]

      e =

              1   6   20   52   81   96   84

Membuat fungsi M-file dengan menggunakan editor untuk melakukan penjumlahan polinomial secara umum, caranya buka File pilih New  pilih lagi M-file setelah itu ketiklah contoh berikut ini  :

function p=polyadd(a,b)

if nargin <2, error(‘Kekurangan argumen input’), end  % pengecekan error

a=a(:).’;

b=b(:).’;

na = length(a);

nb= length(b);

p=[zeros(1,nb-na) a] + [zeros(1,na-nb) b];

Setelah selesai mengetik simpan dengan nama file polyadd.m

>> f=polyadd(c,d)

f =

              1   6   20   52   81   96   84

yang sama dengan  e  sebelumnya

>> g=polyadd(c, -d)

g =

              1   6   20   48   69   72    44

yang menghasilkan g(x) = X⁶ + 6 X⁵ + 20 X⁴ +48 X³ + 69 X² + 72 X + 44

1. Pembagian

Pembagian polinomial dikerjakan dengan fungsi deconv

>> [q,r] = deconv(c,b)        {Polinomial b yang dibagi dengan polinomial c menghasilkan polinomial q dan sisa r}

q =

       1   2   3    4

r =

       0   0   0    0    0    0    0

1. Turunan

>> g

      g =

               1   6   20   48   69   72   44

>> h=polyder(g)

     h =

           6   30   80   144   138   72

1. F.Evaluasi

    Untuk mengevaluasi dikerjakan dengan fungsi polyval

>> x = linspace(-1,3);      %memilih 100 data point antara -1 sampai 3

>> p = [1 4 -7 -10];          %menggunakan polinomial p(x) = X³  + 4 X²   –  7 X  – 10

>> v=polyval(p,x);           %mengevaluasi p(x) menggunakan nilai-nilai x dan menyimpan hasilnya dalam v}

>> plot(x,v), title(‘x^3 + 4x^2 – 7x -19’), xlabel(‘x’)

Gambar 1

Pencarian Nol

fungsi mencapai nol di dekat x = 1.2

>> xzero=fzero(‘humps’,1.2)

 Zero found in the interval: [1.0642, 1.3358].

xzero =

    1.2995

>> yzero=humps(xzero)

yzero =

     0

1. Pengintegralan

Untuk menghitung luas area di bawah y=humps(x) dalam range 1<z<2 menggunakan trapz untuk setiap plot yang ditunjukkan diatas

>>x=-1:.17:2;          % pendekatan kasar

>> y=humps(x);

>> area=trapz(x,y)

area =

   25.9174

>> x=-1:.07:2;     % Pendekatan halus

>> y=humps(x);

>> area=trapz(x,y)

area =

   26.6243

Fungsi quad dan quad8 yang didasarkan atas konsep matematika kuadratur, fungsi quad8 lebih teliti dari quad.

>> area=quad(‘humps’,-1,2)

area =

   26.3450

>> area=quad8(‘humps’,-1,2)

area =

   26.3450

1. Pendiferensialan

 

>> x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1];

>> y=[-.447 1.978 3.20 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];

>> n=2;

>> p=polyfit(x,y,n)

p =

   -9.8015   20.1418   -0.0485

>>xi=linspace(0,1,100);

>> z=polyval(p,xi);

>> plot(x,y,’o’,x,y,xi,z,’:’)

>>xlabel(‘x’), ylabe(‘y=f(x)’)

>> title(‘Pencocokan Kurva Derajat Dua’)

>>pd=polyder(p)

 pd =

        -19.6217   20.1293

Derivatif dari y = -9.8108 X² + 20.1293 – 0.0317 adalah dy/dx = 19.6217 x + 20.1293