limit dari lim(x→0^+ )⁡ (1+sin⁡4x )^cot⁡ x

1.Tentukanlah limit dari lim(x→0^+ )⁡  (1+sin⁡4x )^cot⁡ x  !

Jawab:

karena x → 0^+,

maka 1 + sin 4x → 1

dan cot x → ∞

y = (1 + sin 4x)^cot⁡x

ln y  =  ln[( 1 + sin 4x)^cot⁡x ]  =  cot x ln( 1 + sin 4x) = (ln(1+sin⁡4x))/tan⁡x

dengan menggunakan aturan l’ Hospital’s maka diperoleh:

lim(x→0^+ )  ln y =  lim(x→0^+ ) (ln(1+sin⁡ 4x) )/tan⁡x = lim(x→0^+ ) ((4 cos⁡4x)/(1+sin⁡4x ))/(sec^2  x) = 4

Maka kita telah memperoleh limit dari ln y, tapi yang ditanya adalah limit y, maka:

y =  e^ln⁡y 

maka:

lim(x→0^+ )⁡  (1+sin⁡4x )^cot⁡ x  =  lim(x→0^+ )  y

lim(x→0^+ )  y =  lim(x→0^+ )  e^ln⁡y

lim(x→0^+ )  y =  lim(x→0^+ )  e^lim(x→0^+ )  ln⁡y     dimana, lim(x→0^+ ) ln y = 4

Maka: lim(x→0^+ )  y = lim(x→0^+ )  e^4

Maka: lim(x→0^+ )  y =  e^4

karena limit kontanta adalah konstanta itu sendiri.