Diberikan fungsi f dan g dengan rumus f(x) = 2x + 3 dan g(x) = cos^2 (3x+1). Tentukan turuna pertama dari: (g(x))/(f(x)) untuk x≠-2/3

Diberikan fungsi f dan g dengan rumus f(x) = 2x + 3 dan g(x) = cos^2 (3x+1).
Tentukan turuna pertama dari: (g(x))/(f(x)) untuk x≠-2/3

Jawab:

Misalkan: h(x) =(g(x))/(f(x))

Maka: h(x) =(g(x))/(f(x))=(cos^2 (3x+1))/(2x + 3)

Misalkan:
u = 3x +1
du/dx=3

dan
v = cos u
dv/du=-sin⁡(u)=-sin⁡(3x+1)

dan
g(x) = y = v^2
dy/dv=2v=2cos⁡(u)=2 cos⁡(3x+1)

Sehingga:
g^1 (x)=(du/dx)(dv/du)(dy/dv)=3(-sin⁡(3x+1))(2 cos⁡(3x+1))=-6sin⁡(3x+1) cos⁡(3x+1)

Sehingga:
h^1 (x)=(g^1 (x)f(x)-f^1 (x)g(x))/(f(x))^2
h^1 (x)=[(-6 sin⁡(3x+1) cos⁡(3x+1) )(2x + 3)-2cos^2 (3x+1)]/[(2x + 3)^2]

Tentukanlah turunan pertama dari s(x)=(sin⁡(2x))^3x

Tentukanlah turunan pertama dari s(x)=(sin⁡(2x))^3x

Jawab:

Misalkan:
y = s(x)=(sin⁡(2x))^3x

maka:
y =(sin⁡(2x))^3x
ln⁡y = ln⁡(sin⁡(2x))^3x
ln⁡y =3x ln(sin(2x))

Kemudian kedua ruas diturunkan:
d/dx (ln⁡y )= d/dx (3x ln(sin(2x)))
(1/y) dy/dx =3 ln⁡(sin⁡(2x)) + 3x 1/sin⁡(2x) d/dx (sin(2x))
(1/y) dy/dx=3 ln⁡(sin⁡(2x)) + 3x 1/sin⁡(2x) 2 cos⁡(2x)
(1/y) dy/dx=3 ln⁡(sin⁡(2x)) + 6x cos⁡(2x)/sin⁡(2x)
(1/y) dy/dx=3 ln⁡(sin⁡(2x)) + 6x cot⁡(2x)
dy/dx=y [3 ln⁡(sin⁡(2x))+ 6x cot⁡(2x)]

Karena: y=(sin⁡(2x))^3x
Maka:
dy/dx=(sin⁡(2x))^3x [3 ln⁡(sin⁡(2x))+ 6x cot⁡(2x)]