Tentukanlah nilai a dan b dari f(x) = {█(ax+3 ,jika x >5 8 , jika x=5 x^2+ bx+1 ,jika x <5 ┤ ,sehingga f(x) konstan untuk setiap x !

Tentukanlah nilai a dan b dari f(x) = {█(ax+3 ,jika x >5@8 , jika x=5@x^2+ bx+1 ,jika x <5)┤ ,sehingga f(x) konstan untuk setiap x !

Jawab:

pertama:

f(x) = c f(5) = 8 → terdefinisi

kedua:

lim x → 5^(- )  f(x) = lim x → 5^(+ )  f(x)

supaya kontinu maka limit kiri = limit kanan

lim x → 5^(- )  ( x^2+ bx+ 1) = lim x → 5^(+ )  (ax+3)

25 + 5b +1 = 5a + 3

5a – 5b = 23 …………1)

ketiga:

lim x → c f(x) = f(c) syarat agar kontinu

lim x → 5  (x^2+ bx+1) = f(5)

25 + 5b +1 = 8

5b = – 18

b = – 18/5

maka:

5a – 5b = 23 ……….b = – 18/5 )

5a – 5(- 18/5) = 23

5a + 18 = 23

5a = 5

a = 1

Sehingga, a = 1 dan b = – 18/5

for more detailed writing click on the following link

Tentukanlah nilai  a  dan  b dari    f(x) = {█(ax+3 ,jika x >5     8,jika x=5         x^2+ bx+1 ,jika x <5 ┤       ,sehingga f(x) konstan untuk setiap x !

Tentukanlah invers dari : (a) y = ln(x + 3) (b) f(x) = e^(x^3 ) (c) y = 2x^3 + 3

Tentukanlah invers dari :

(a) y = ln(x + 3)

(b) f(x) = e^(x^3 )

(c) y = 2x^3 + 3

Jawab:

(a) y = ln(x + 3)

e^y = e^( ln(x + 3))

e^y=x+3

x = e^y – 3

maka : y^(-1) = e^x – 3

(b) f(x) = e^(x^3 )

y = e^(x^3 )

ln y = lne^(x^3 )

ln y = x^3 x = ∛(ln⁡y )

maka : f(x)^(-1) = √(3&ln⁡x )

(c) y = 2x^3 + 3

y – 3 = 2x^3

(y – 3)/2 = x^3

∛((y – 3)/2 ) = x

maka : y^(-1)= √(3&(x – 3)/2 )

for more detailed writing click on the following link







Tentukanlah invers dari : 
(a) y = ln(x + 3) 
(b) f(x) = e^(x^3 ) 
(c) y = 2x^3 + 3

sin^(-1) ( √3/2 )

Tentukanlah nilai dari sin^(-1) ( √3/2 ) !

Jawab:

Karena f^(-1) x = y ↔ f(y) = x

Maka: sin^(-1) x =y ↔ sin y = x untuk : – π/2 ≤ x ≤ π/2

Misalkan : sin^(-1) ( √3/2 ) = a

maka: sin a = ( √3/2 )

maka: a = arcsin ( √3/2 )

a = 60°

atau a = π/6

sehingga  sin^(-1) ( √3/2 ) = a = 60° = π/6

for more detailed writing click on the following link

Tentukanlah nilai dari sin^(-1) ( √3/2 )

lim (x→(π⁄2 )^ – ) ( sec x – tan x )

Tentukanlah nilai limit dari lim x→(π⁄2 )^-  ( sec x – tan x ) !

Jawab:

karena x → (π⁄(2 )^- ) ,

maka: sec x → ∞

dan tan x → ∞,

sehingga limitnya tidak terdefinisi secara langsung.

Kita menggunakan metode denominator (penyebut)

Sec x = 1/cos⁡x

dan tan x = sin⁡x/cos⁡x

Maka:

lim x→(π⁄2 )^-  ( sec x – tan x ) = lim x→(π⁄2 )^-  ( 1/cos⁡x – sin⁡x/cos⁡x ) = lim x→(π⁄2 )^-  ( (1-sin⁡x)/cos⁡x )

Maka sekarang gunakan aturan l’ Hospital’s, sehingga diperoleh:

lim x→(π⁄2 )^-  ( (1-sin⁡x)/cos⁡x ) = lim x→(π⁄2 )^-  ( (-cos⁡x)/- sin x ) = cos⁡ π ⁄ 2 / sin⁡ π ⁄2  =  0/1  = 0

for more detailed writing click on the following link

Tentukanlah nilai limit dari lim (x→(π⁄2 )^ – ) ( sec x – tan x )

limit dari lim(x→0^+ )⁡ (1+sin⁡4x )^cot⁡ x

1.Tentukanlah limit dari lim(x→0^+ )⁡  (1+sin⁡4x )^cot⁡ x  !

Jawab:

karena x → 0^+,

maka 1 + sin 4x → 1

dan cot x → ∞

y = (1 + sin 4x)^cot⁡x

ln y  =  ln[( 1 + sin 4x)^cot⁡x ]  =  cot x ln( 1 + sin 4x) = (ln(1+sin⁡4x))/tan⁡x

dengan menggunakan aturan l’ Hospital’s maka diperoleh:

lim(x→0^+ )  ln y =  lim(x→0^+ ) (ln(1+sin⁡ 4x) )/tan⁡x = lim(x→0^+ ) ((4 cos⁡4x)/(1+sin⁡4x ))/(sec^2  x) = 4

Maka kita telah memperoleh limit dari ln y, tapi yang ditanya adalah limit y, maka:

y =  e^ln⁡y 

maka:

lim(x→0^+ )⁡  (1+sin⁡4x )^cot⁡ x  =  lim(x→0^+ )  y

lim(x→0^+ )  y =  lim(x→0^+ )  e^ln⁡y

lim(x→0^+ )  y =  lim(x→0^+ )  e^lim(x→0^+ )  ln⁡y     dimana, lim(x→0^+ ) ln y = 4

Maka: lim(x→0^+ )  y = lim(x→0^+ )  e^4

Maka: lim(x→0^+ )  y =  e^4

karena limit kontanta adalah konstanta itu sendiri.